数学专业开题报告

题 目：常微分方程求解中的积分因子法研究

一、选题的目的及研究意义

数学发展的历史告诉我们，3XX年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。

二、综述与本课题相关领域的研究现状、发展趋势、研究方法及应用领域等

(1)相关领域的研究现状;

20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。

1927-1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。

40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否;而对于一般系统这个问题尚未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山涛教授, 用从典范方程组到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是c’封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。

在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越多学者的兴趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的目前常微分方程的研究领城比以往任何时候都广泛，大致有九个分支学科：一般理论;边值问题;定性理论;稳定性理论;泛函微分方程和差分方程;微分方程的渐近理论;巴拿赫空间及其他抽象空间的微分方程;控制理论问题以及随机微分方程和方程组。这些领域都有不少数学家在从事工作，每年发表的文献总数在1000篇以上.例如，一般理论仍然是常微分方程最活跃的领城之一。近二十年来，由于研究继电控制系统等实际问题提出了一类右端不连续常微分方程系统和广义常微分方程。由此就要求对解重新定义, 即广义解的定义问题。与此同时又提出这类解的存在性、唯一性问题。再如，在自动控制、生物学、医学、经济学等领城中提出了一类数学模型, 类似一般的常微分方程, 但其解的未来状态, 不仅依赖于初始状态, 而且与过去的状态有关。这些数学模型被概括为所谓泛函微分方程(funstion diff,eqs,简写为fde)，成为常微分方程的重要分支学科。这类方程早在1750年欧拉就已经提出，但20世纪前只有个别工作，19XX年—1948年间从各个方面提出的fde逐渐增多，但仍未成为一个独立分支。1949年后贝尔曼(man，1920,8,20，美国数学家)等建立了普遍存在唯一性、稳定性定理后，才成为一个独立的数学分支。目前这类方程的稳定性同样是头等重要的问题。

(2)发展趋势

微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。它从生产实践与科学技术 中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。

(3)研究方法及应用领域;

人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然

三、对本课题将要解决的主要问题及解决问题的思路与方法、拟采用的研究方法(技术路线)或设计(实验)方案进行说明

(1)将要解决的主要问题及其思路方法;

利用积分因子存在的充要条件定理及某些特殊性质，对几类特殊的微分方程及一般的微分方程的积分因子法进行讨论，这是一种非常有效的方法，能使问题简单化并易求得一阶微分方程的通解。

(2)研究方法;

充分利用网络资源及校图书馆的资料，并对材料归纳总结，还要结合自己的见解。如果在写的过程中遇到不懂的问题，将会和指导老师研究，直到问题解决。

四、检索与本课题有关参考文献资料的简要说明

[1]王高雄等编著.常微分方程[m]. 北京:高等教育出版社(第三版)p55-60

[2]西南师范大学数学与财经学院.常微分方程[m].西南师范大学出版社.p74-89

[3]王善维.关于一阶微分方程的积分因子问题.河北轻化工学院学报.1997年第18卷第3期

[4]杨宗永.用积分因子法试解一阶微分方程.成都纺织高等专科学校学报.1994年10月第11卷第4期

[5]杨淑娥.一阶微分方程的积分因子解法.彭城职业大学学报年3月第15卷第1期

[6]华东师范大学数学.数学分析(上、下)[m].北京：高等教育出版社(第三版).

[7]楼红卫编著. 常微分方程[m].复旦大学出版社.p13-18

[8]丁崇文编著. 常微分方程精品课堂[m].厦门大学出版社.p94-121

[9]温启军，张丽静.关于积分因子的讨论. 长春大学学报年10月第十六卷第五期

[10]陈伟.解一阶线性常微分方程的积分因子法.高等数学研究年5月第11卷第13期

[11]侯谦民.利用积分因子解微分方程.湖北成人教育学院学报年7月第13卷第4期

五、毕业设计进程安排

进程安排;：

(1-3周) 确定论文题目。查找资料,完成毕业论文开题报告;

(4-6周) 查阅，收集和整理资料，对其进行综述;

(7-8周) 中期检查，情况汇报;

(8-12周) 完成总结。整理全文,完成论文初稿的撰写，交指导老师审阅;

(13周) 按指导老师意见，完成论文的修改;

(14周) 论文答辩准备，并完成论文答辩。